এই প্রশ্ন আগে পরীক্ষায় এসেছে:
CTET 2026
উত্তর
\( 4x - 8y + 3 \)
ব্যাখ্যা
লক্ষ্য করুন: \( 4x^2 + 16y^2 - 16xy = (2x - 4y)^2 \)। এবার ধরি, \( z = 2x - 4y \)। তাহলে রাশিটি দাঁড়ায়: \( 5z + 6z^2 - 6 = 6z^2 + 5z - 6 \)। মিডল-টার্ম ফ্যাক্টরাইজেশন করলে: \( 6z^2 + 9z - 4z - 6 = 3z(2z + 3) - 2(2z + 3) = (3z - 2)(2z + 3) \)। এখন \( z = 2x - 4y \) মান বসালে: প্রথম উৎপাদক = \( 3(2x - 4y) - 2 = 6x - 12y - 2 \)। দ্বিতীয় উৎপাদক = \( 2(2x - 4y) + 3 = 4x - 8y + 3 \)। অপশনগুলোর মধ্যে দ্বিতীয় উৎপাদকটি উপস্থিত রয়েছে।
মূল পয়েন্ট
- > রাশির মধ্যে লুকানো বর্গচিহ্নিত অংশটিকে (perfect square) শনাক্ত করা উৎপাদক বিশ্লেষণের প্রথম ধাপ।
- > \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) সূত্রটি এই অঙ্কে ব্যবহার করা হয়েছে।
- > জটিল রাশিকে সহজ করার জন্য সাধারণ অংশটিকে অন্য একটি চলক (যথা z) ধরে নেওয়া একটি কার্যকর কৌশল।
- > মিডল-টার্ম ব্রেকডাউন (Middle Term Factorization) এর ক্ষেত্রে গুণফল এবং যোগফল সঠিকভাবে মেলাতে হয়।
- > এখানে \( 6 \times (-6) = -36 \); এবং 9 ও -4 এর যোগফল 5 এবং গুণফল -36।
- > শেষে প্রতিস্থাপিত চলকের আসল মান ফিরিয়ে আনা বাধ্যতামূলক।
- > বীজগাণিতিক উৎপাদক নির্ণয়ে প্যাটার্ন রিকগনিশন (Pattern Recognition) অত্যন্ত জরুরি।
অতিরিক্ত তথ্য
উৎপাদক বিশ্লেষণের কৌশল
| পদ্ধতি | ফর্মুলা / রূপ | কখন ব্যবহার করবেন |
|---|---|---|
| সাধারণ (Common) | ab + ac = a(b+c) | সব পদে সাধারণ গুণনীয়ক থাকলে |
| মধ্যপদ বিশ্লেষণ | ax² + bx + c | দ্বিঘাত সমীকরণের উৎপাদকে |
| বর্গের অন্তর | a² - b² = (a+b)(a-b) | দুটি বর্গ পদের বিয়োগফল থাকলে |
| পূর্ণবর্গ গঠন | a² ± 2ab + b² | (a±b)² প্যাটার্ন তৈরি করা গেলে |
মনে রাখার টিপস
- Subsitution Trick: বড় রাশিতে একই পদের পুনরাবৃত্তি দেখলে তাকে x, y বা z ধরে অঙ্ক ছোট করে নিতে হয়।
- Sign Check: দ্বিঘাত সমীকরণের ধ্রুবক পদ ঋণাত্মক হলে মধ্যপদের অংশ দুটির একটি ধনাত্মক ও অন্যটি ঋণাত্মক হবে।