এই প্রশ্ন আগে পরীক্ষায় এসেছে:
CTET 2026
উত্তর
১৩
ব্যাখ্যা
শর্তানুসারে, \( \frac{4+x}{10+x} = \frac{12+x}{24+x} \)। আড়াআড়ি গুণ করলে: \( (4+x)(24+x) = (10+x)(12+x) \)। গুণফল: \( 96 + 28x + x^2 = 120 + 22x + x^2 \)। উভয়দিক থেকে \( x^2 \) বাদ দিলে: \( 28x - 22x = 120 - 96 \) \( \Rightarrow 6x = 24 \) \( \Rightarrow x = 4 \)। অতএব, \( (3x+1) = 3(4) + 1 = 12 + 1 = 13 \)।
মূল পয়েন্ট
- > চারটি সংখ্যা a, b, c, d সমানুপাতে থাকলে \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) হয়।
- > সমানুপাতের নিয়মে প্রান্তীয় পদগুলোর গুণফল মধ্য পদগুলোর গুণফলের সমান হয় (Product of extremes = Product of means)।
- > এই ধরনের অঙ্কে দ্বিঘাত পদ (যথা \( x^2 \)) সমীকরণের উভয়দিকে সমানভাবে আসে এবং সহজে বাতিল হয়ে যায়।
- > পরীক্ষার হলে দ্রুত সমাধানের জন্য \( x \) এর মান ১, ২, ৩, ৪ ধরে অপশন চেক করা যেতে পারে।
- > \( x=4 \) বসালে অনুপাতটি হয় \( \frac{8}{14} = \frac{16}{28} \) (উভয়ক্ষেত্রেই \( \frac{4}{7} \)), যা সমানুপাতটি প্রমাণ করে।
- > প্রশ্নে সরাসরি \( x \) না চেয়ে \( (3x+1) \) চাওয়া হয়েছে, তাই শেষে মান বসাতে ভুল করা যাবে না।
অতিরিক্ত তথ্য
অনুপাত ও সমানুপাত
| সমানুপাতের ধরন | বৈশিষ্ট্য | উদাহরণ |
|---|---|---|
| প্রত্যক্ষ সমানুপাত | a:b = c:d | 2:3 :: 4:6 |
| মধ্য সমানুপাতী | a:x = x:b (x = √ab) | 4 ও 9 এর মধ্য সমানুপাতী = 6 |
| তৃতীয় সমানুপাতী | a:b = b:c (c = b²/a) | 2 ও 4 এর তৃতীয় সমানুপাতী = 8 |
| চতুর্থ সমানুপাতী | a:b = c:d (d = bc/a) | 2,3,4 এর চতুর্থ সমানুপাতী = 6 |
মনে রাখার টিপস
- প্রান্তীয় ও মধ্যপদ: a, b, c, d তে 'a' ও 'd' হলো প্রান্তীয় পদ, এবং 'b' ও 'c' হলো মধ্যপদ। a × d = b × c সর্বদাই সত্য।