অনুপাত ও সমানুপাত: সূত্র, 6টি অঙ্ক ও 12টি প্র্যাকটিস প্রশ্ন (WBPSC ক্লার্কশিপ 2024)

WBPSC ক্লার্কশিপ 2024 পার্ট-1-এর পাটিগণিত অংশে (30 নম্বর, ভুল উত্তরে −0.25) সরকারি সিলেবাসে অনুপাত ও সমানুপাত আছে। এই পাঠে সূত্র, 6টি অঙ্ক, শর্টকাট ও ফাঁদ আছে, শেষে 12টি প্র্যাকটিস প্রশ্নের কুইজ। আগের পাঠ: পাটিগণিতের 15 টপিক ও গসাগু ও লসাগু।

মূল নিয়ম

• অনুপাত $a : b$ মানে $\frac{a}{b}$। এক জাতীয় রাশির মধ্যেই অনুপাত হয় (টাকা : টাকা, কেজি : কেজি)।
• দুই পদকে একই সংখ্যায় গুণ বা ভাগ করলে অনুপাত বদলায় না: $2 : 3 = 4 : 6$।
• সমানুপাত: $a : b = c : d$ হলে $ad = bc$ (অন্তঃস্থ গুণফল = বহিঃস্থ গুণফল)।
• মধ্যসমানুপাতী $= \sqrt{ab}$, তৃতীয় সমানুপাতী $= \frac{b^{2}}{a}$, চতুর্থ সমানুপাতী $= \frac{bc}{a}$।
• সংযুক্ত অনুপাত: পূর্বপদের গুণফল : উত্তরপদের গুণফল।
• সরল সমানুপাতে একটি বাড়লে অন্যটি বাড়ে (কলমের দাম); ব্যস্ত সমানুপাতে একটি বাড়লে অন্যটি কমে (লোক ও দিন)।

উদাহরণ 1: অনুপাতে ভাগ

₹1,200 কে 3 : 5 অনুপাতে ভাগ করুন। মোট ভাগ $3 + 5 = 8$, 1 ভাগ $= 1200 \div 8 =$ ₹150। প্রথম অংশ $3 \times 150 =$ ₹450, দ্বিতীয় $5 \times 150 =$ ₹750। যোগ করে মিলিয়ে নিন: $450 + 750 = 1200$।

উদাহরণ 2: সমানুপাতের অজানা

$4 : 7 = 20 : x$ হলে $4x = 7 \times 20 = 140$, তাই $x = 35$। যাচাই: $20 \div 4 = 5$ এবং $35 \div 7 = 5$।

উদাহরণ 3: মধ্য ও তৃতীয় সমানুপাতী

4 ও 25 এর মধ্যসমানুপাতী $\sqrt{4 \times 25} = \sqrt{100} = 10$। 9 ও 12 এর তৃতীয় সমানুপাতী $\frac{12^{2}}{9} = \frac{144}{9} = 16$।

উদাহরণ 4: যোগ করলে অনুপাত বদলায়

দুটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 4। প্রতিটিতে 6 যোগ করলে অনুপাত 4 : 5 হয়। সংখ্যা দুটি $3k$ ও $4k$ ধরে ধাপগুলো এই ছবিতে:

উদাহরণ 5: মিশ্রণ

50 L মিশ্রণে দুধ : জল $= 3 : 2$, অর্থাৎ দুধ 30 L, জল 20 L। দুধ অপরিবর্তিত রেখে অনুপাত 3 : 4 করতে জল লাগবে $30 \times \frac{4}{3} = 40$ L, তাই 20 L জল মেশাতে হবে।

উদাহরণ 6: সরল ও ব্যস্ত সমানুপাত

12 জন লোক কাজ করে 15 দিনে, তাই মোট কাজ $12 \times 15 = 180$ লোক-দিন। 18 জন করলে $180 \div 18 = 10$ দিন। লোক যত বাড়ে, দিন তত কমে, গুণফল সবসময় 180।

শর্টকাট

• অনুপাতের অঙ্কে প্রথমে যোগফল, পরে 1 ভাগের মান: মোট ÷ (a + b)।
• দুই অনুপাতকে যুক্ত করতে সাধারণ পদ (লসাগু ধরে) মিলিয়ে নিন: $2 : 3$ ও $4 : 5$ থেকে $8 : 12 : 15$।
• ব্যস্ত সমানুপাতে লোক × দিন (বা দাম × পরিমাণ) ধ্রুবক ধরে সরাসরি সমাধান।
• উত্তর যাচাই: অংশগুলো যোগ করলে মোট মিলছে কি না।

সাধারণ ভুল

• দুটি অনুপাতকে সোজা জুড়ে ফেলা, মাঝের পদ না মিলিয়ে।
• যোগ-বিয়োগের পর অনুপাত আগের মতো ধরে নেওয়া।
• সরল ও ব্যস্ত সমানুপাত গুলিয়ে ফেলা: আগে ভাবুন একটি বাড়লে অন্যটি কী হয়।
• আলাদা এককে অনুপাত (যেমন মিটার : সেমি) এক একক না করে লেখা।

পরীক্ষার্থীদের জন্য এর অর্থ কী

পার্ট-1-এর 30টি পাটিগণিত প্রশ্নে অনুপাত-সমানুপাত, অংশীদারি, গড় ও শতকরা একসঙ্গে কাজে লাগে, তাই এটি পাকা হলে অন্য টপিকও সহজ হয়। প্রতিদিন 10টি অঙ্ক সময় ধরে করুন। প্রতি প্রশ্নে গড়ে 1 মিনিটের বেশি দেবেন না। ভুল উত্তরে −0.25 কাটা যায়, তাই অনিশ্চিত হলে যাচাই করে তবেই দাগান। প্রস্তুতির পুরো ছক 8 সপ্তাহের পরিকল্পনায়, আর আবেদনের নিয়ম আবেদন গাইডে। নিচের কুইজে 12টি প্রশ্নের উত্তর মিলিয়ে নিন।

সূত্র

• WBPSC ক্লার্কশিপ পরীক্ষা 2024, বিজ্ঞপ্তি নং 12/2024, স্কিম ও সিলেবাস

প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন