বিভাজ্যতা (পর্ব 2): ভাগশেষের শর্টকাট, দুই অজানা অঙ্ক ও 1001-এর কৌশল (WBPSC ক্লার্কশিপ 2024)

WBPSC ক্লার্কশিপ 2024 (বিজ্ঞপ্তি নং 12/2024)-এর পার্ট-1-এ পাটিগণিত থেকে 30টি প্রশ্ন আসে, আর অফিসিয়াল সিলেবাসে তার প্রথম বিষয় বিভাজ্যতা। প্রথম পর্বে 2 থেকে 12 পর্যন্ত নিয়ম, 7-এর নিয়ম আর একটি অজানা অঙ্কের অঙ্ক ছিল। এই পর্বে তার পরের ধাপ: ভাগ না করেই ভাগশেষ বের করা, দুটি অজানা অঙ্ক, একটি সীমার মধ্যে গুণিতক গোনা আর কয়েকটি বিশেষ সংখ্যার কৌশল।

নিয়মগুলি একবার ঝালিয়ে নিতে প্রথম পর্বটি পড়ে আসুন। পুরো প্রস্তুতির ছক আছে 8 সপ্তাহের পরিকল্পনায়।

যৌগিক ভাজকের নিয়ম: সহমৌলিক জোড়ে ভাঙুন

বড় ভাজকের আলাদা নিয়ম মুখস্থ করার দরকার নেই। ভাজকটিকে এমন দুটি সংখ্যার গুণফলে ভাঙুন যাদের মধ্যে 1 ছাড়া কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই (সহমৌলিক), তারপর দুটি নিয়মই খাটান।

আরও দুটি নিয়ম কাজে লাগে: 25 দ্বারা বিভাজ্য হতে শেষ দুই অঙ্ক 00, 25, 50 বা 75 হতে হবে; 16 দ্বারা বিভাজ্য হতে শেষ চার অঙ্কের সংখ্যাটি 16-এর গুণিতক হতে হবে।

ভাগ না করে ভাগশেষ

• 9 দিয়ে: অঙ্কের যোগফলকে 9 দিয়ে ভাগ করলে যে ভাগশেষ, মূল সংখ্যারও সেই ভাগশেষ। 3 দিয়েও একই কথা।
• 11 দিয়ে: ডান দিক থেকে বিজোড় স্থানের অঙ্কের যোগফল থেকে জোড় স্থানের অঙ্কের যোগফল বিয়োগ করুন। ফলটিকে 11 দিয়ে ভাগ করলে যা থাকে সেটাই ভাগশেষ; ফল ঋণাত্মক হলে 11 যোগ করুন।
• 4, 8, 25 দিয়ে: শুধু শেষ দুই (4, 25) বা শেষ তিন (8) অঙ্কের সংখ্যাকে ভাগ করুন, তার ভাগশেষই উত্তর।
• ভাজকের গুণনীয়ক দিয়ে: কোনো সংখ্যাকে d দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ r। d-এর কোনো গুণনীয়ক k দিয়ে সেই সংখ্যাকে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে r-কে k দিয়ে ভাগ করলে যা থাকে।

ধাপে ধাপে ছয়টি অঙ্ক

উদাহরণ 1: 8,74,563-কে 9 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

অঙ্কের যোগফল 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 = 33। আবার 3 + 3 = 6, যা 9-এর চেয়ে ছোট। তাই ভাগশেষ 6। যাচাই: 9 × 97,173 = 8,74,557, আর 8,74,563 − 8,74,557 = 6।

উদাহরণ 2: 3,58,672-কে 11 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

ডান দিক থেকে অঙ্কগুলি 2, 7, 6, 8, 5, 3। বিজোড় স্থানের যোগফল 2 + 6 + 5 = 13, জোড় স্থানের 7 + 8 + 3 = 18। পার্থক্য 13 − 18 = −5, ঋণাত্মক, তাই 11 যোগ করে পাই 6। যাচাই: 11 × 32,606 = 3,58,666, বাকি থাকে 6।

উদাহরণ 3: কোনো সংখ্যাকে 84 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 53। সংখ্যাটিকে 12 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

84 = 12 × 7, অর্থাৎ 12 হল 84-এর গুণনীয়ক। সংখ্যাটি = 84 × (ভাগফল) + 53, আর প্রথম অংশটি 12 দিয়ে পুরো বিভাজ্য। তাই শুধু 53-কে 12 দিয়ে ভাগ করুন: $53 = 12 \times 4 + 5$। ভাগশেষ 5। যেমন 137 (= 84 + 53) নিলে $137 = 12 \times 11 + 5$।

সাবধান: এই কৌশল খাটে শুধু তখনই, যখন নতুন ভাজক পুরনো ভাজকের গুণনীয়ক। 84-এর ভাগশেষ জেনে 10 দিয়ে ভাগশেষ এভাবে বলা যায় না।

উদাহরণ 4: 5x23y সংখ্যাটি 72 দ্বারা বিভাজ্য হলে x ও y কত?

72 = 8 × 9। আগে 8-এর শর্ত, কারণ তাতে একটিই অজানা: শেষ তিন অঙ্ক 23y। 230-কে 8 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 6, তাই y-কে 2 হতে হবে (232 = 8 × 29)। এবার 9-এর শর্ত: 5 + x + 2 + 3 + 2 = 12 + x, যা 9-এর গুণিতক হবে কেবল x = 6 হলে (12 + 6 = 18)। সংখ্যাটি 56232, আর $56232 = 72 \times 781$।

উদাহরণ 5: 100 থেকে 500-এর মধ্যে কতগুলি সংখ্যা 7 দ্বারা বিভাজ্য?

1 থেকে 500-এর মধ্যে 7-এর গুণিতক 71টি ($500 = 7 \times 71 + 3$)। 1 থেকে 99-এর মধ্যে 14টি ($99 = 7 \times 14 + 1$)। বিয়োগ করলে 71 − 14 = 57। প্রথম গুণিতক 105 আর শেষটি 497: $\frac{497 – 105}{7} + 1 = 57$, একই উত্তর।

নিয়মটা মনে রাখুন: a থেকে b পর্যন্ত (দুটিই ধরে) d-এর গুণিতক = (b পর্যন্ত গুণিতক) − (a − 1 পর্যন্ত গুণিতক)। শুরুর সংখ্যার আগেরটি পর্যন্ত বাদ দিতে হয়, শুরুরটি নয়।

উদাহরণ 6: 467467 কোন কোন মৌলিক সংখ্যা দ্বারা অবশ্যই বিভাজ্য?

তিন অঙ্কের সংখ্যা পরপর দুবার লিখলে পাওয়া যায় $467 \times 1000 + 467 = 467 \times 1001$। আর $1001 = 7 \times 11 \times 13$। তাই সংখ্যাটি 7, 11 ও 13 তিনটি দিয়েই বিভাজ্য: $467467 = 7 \times 66781 = 11 \times 42497 = 13 \times 35959$।

আরও কয়েকটি কৌশল

• aaa ধাঁচ (111, 222 … 999): $aaa = a \times 111 = a \times 3 \times 37$, তাই সবসময় 3 ও 37 দ্বারা বিভাজ্য।
• অঙ্ক উল্টে যোগ: দুই অঙ্কের সংখ্যা ab আর ba-র যোগফল $11(a + b)$, তাই সবসময় 11 দ্বারা বিভাজ্য। যেমন 47 + 74 = 121 = 11 × 11।
• অঙ্ক উল্টে বিয়োগ: ab − ba = $9(a – b)$, তাই সবসময় 9 দ্বারা বিভাজ্য। যেমন 82 − 28 = 54 = 9 × 6।
• বিয়োগ করে বিভাজ্য: সবচেয়ে ছোট কোন সংখ্যা বিয়োগ করতে হবে, সেই প্রশ্নে উত্তর ভাগশেষ নিজেই; যোগ করার প্রশ্নে উত্তর ভাজক − ভাগশেষ।

সাধারণ ভুলের ফাঁদ

• 4 ও 6 দুটিতেই বিভাজ্য মানে 24 নয়, 12 (তাদের ল.সা.গু)। গোনার প্রশ্নে 24 ধরলে উত্তর অর্ধেক হয়ে যায়।
• 12 দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যা 24 দিয়েও বিভাজ্য, এমন ভাবা। 24-এর জন্য 8-এর শর্ত (শেষ তিন অঙ্ক) দেখতেই হবে।
• 11-এর ভাগশেষে উল্টো দিক থেকে বিয়োগ করা বা ঋণাত্মক ফলে 11 যোগ করতে ভুলে যাওয়া।
• সীমার মধ্যে গুণিতক গোনায় শুরুর সংখ্যা পর্যন্ত বাদ দেওয়া। বাদ যায় শুরুর আগের সংখ্যা পর্যন্ত।
• ভাজকের গুণনীয়ক নয় এমন সংখ্যায় ভাগশেষের কৌশল খাটানো।

পরীক্ষার্থীদের জন্য এর অর্থ কী

পার্ট-1-এ 100টি প্রশ্নের জন্য সময় 1 ঘণ্টা 30 মিনিট, আর প্রতিটি ভুল উত্তরে 0.25 নম্বর কাটা যায়। ভাগশেষ ও অজানা অঙ্কের প্রশ্ন নিয়ম জানা থাকলে 30 সেকেন্ডে হয়, তাই এগুলি নিশ্চিত নম্বর। এই ধারণাগুলি পরে গ.সা.গু ও ল.সা.গু আর সরলীকরণেও লাগে। প্রতিদিন 10টি অঙ্ক হাতে কষে অভ্যাস করুন এবং 2023-এর প্রশ্নপত্র থেকে বিভাজ্যতার প্রশ্নগুলি আলাদা করে দেখুন।

প্র্যাক্টিস কুইজ

নিচের 12টি প্রশ্নের কুইজে সময়ের বাধা নেই। প্রতিটি উত্তরের ব্যাখ্যায় অঙ্কটি কষে দেখানো আছে, ভুল হলে সেখান থেকে নিয়মটা আবার দেখে নিন।

সূত্র

• WBPSC, ক্লার্কশিপ পরীক্ষা 2024, বিজ্ঞপ্তি নং 12/2024, তারিখ 06.10.2026
• WBPSC, ক্লার্কশিপ 2024: স্কিম ও সিলেবাস

প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন