বিভাজ্যতা পর্ব 2: ভাগশেষ ও অজানা অঙ্কের প্র্যাক্টিস কুইজ (ক্লার্কশিপ)

ডান দিক থেকে অঙ্ক 6, 2, 9, 3, 7, 5। বিজোড় স্থানের যোগফল 6 + 9 + 7 = 22, জোড় স্থানের 2 + 3 + 5 = 10। 22 − 10 = 12, আর 12-কে 11 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 1। উল্টো দিক থেকে বিয়োগ করলে (10 − 22) ভুল উত্তর 10 আসে।

357 = 17 × 21, তাই 17 হল 357-এর গুণনীয়ক। সংখ্যাটি = 357 × ভাগফল + 39, প্রথম অংশ 17 দিয়ে বিভাজ্য। 39-কে 17 দিয়ে ভাগ করলে $39 = 17 \times 2 + 5$, ভাগশেষ 5। 22 আসে 39 − 17 করে থেমে গেলে, কিন্তু 22 নিজেই 17-এর চেয়ে বড়।

4 ও 6 দুটিতেই বিভাজ্য মানে তাদের ল.সা.গু 12 দ্বারা বিভাজ্য। $300 = 12 \times 25$, তাই এমন সংখ্যা 25টি। 4 × 6 = 24 ধরলে 12টি আসে, কিন্তু তাতে 12, 36, 60-এর মতো সংখ্যা বাদ পড়ে।

1 থেকে 600-এর মধ্যে 9-এর গুণিতক 66টি ($600 = 9 \times 66 + 6$)। 1 থেকে 199-এর মধ্যে 22টি ($199 = 9 \times 22 + 1$)। 66 − 22 = 44। প্রথম গুণিতক 207 আর শেষ 594: $\frac{594 - 207}{9} + 1 = 44$।

72 = 8 × 9। 8-এর শর্ত: শেষ তিন অঙ্ক 58y; 580-কে 8 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 4, তাই y = 4 (584 = 8 × 73)। 9-এর শর্ত: 2 + x + 5 + 8 + 4 = 19 + x, যা 27 হলে x = 8। সংখ্যাটি 28584 = 72 × 397।

45 = 5 × 9। শেষ অঙ্ক 5, তাই 5-এর শর্ত মেলে। 9-এর জন্য 8 + 4 + x + 5 = 17 + x-কে 9-এর গুণিতক হতে হবে, তাই x = 1 (17 + 1 = 18)। 8415 = 45 × 187।

538538 = 538 × 1001, আর 1001 = 7 × 11 × 13। তাই সংখ্যাটি 13 দ্বারা বিভাজ্য: 538538 = 13 × 41426। 17, 19 বা 23 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে।

এমন সংখ্যা = a × 111, আর 111 = 3 × 37। তাই সবগুলি 37 দ্বারা বিভাজ্য (যেমন 222 = 37 × 6)। 777 সংখ্যাটি 7 দিয়ে বিভাজ্য, কিন্তু 111 নয়; 11 ও 13 দিয়ে 111 বিভাজ্য নয়।

সংখ্যা 10a + b, উল্টো 10b + a, যোগফল 11a + 11b = $11(a + b)$। তাই সবসময় 11 দ্বারা বিভাজ্য, যেমন 47 + 74 = 121। 9 আসে অঙ্ক উল্টে বিয়োগ করলে: $9(a - b)$।

ডান দিক থেকে অঙ্ক 5, 1, 4, 7। বিজোড় স্থানের যোগফল 5 + 4 = 9, জোড় স্থানের 1 + 7 = 8, পার্থক্য 1, তাই ভাগশেষ 1। বিয়োগ করতে হবে ভাগশেষটাই, 1: 7414 = 11 × 674। 10 হত যোগ করার প্রশ্নের উত্তর (11 − 1)।

24 = 3 × 8। চারটি সংখ্যারই অঙ্কের যোগফল 3-এর গুণিতক, তাই 8-এর শর্তটাই আসল। শেষ তিন অঙ্ক: 516, 436, 248, 084; এর মধ্যে শুধু 248 = 8 × 31। তাই 7,248 = 24 × 302। বাকি তিনটি 12 দিয়ে বিভাজ্য, 24 দিয়ে নয়।