WBPSC ক্লার্কশিপ 2024 পার্ট-1 এ পাটিগণিতের 30টি প্রশ্নের মধ্যে গড় (average), অনুপাত (ratio) আর সময় ও দূরত্ব (time and distance) তিনটিই সিলেবাসে আছে। পরীক্ষায় প্রায়ই এগুলো একসঙ্গে আসে: "যাওয়া-আসার গড় গতিবেগ", "গতির অনুপাত দেওয়া, সময় কত", "দুই দলের মিলিত গড়"। এই পাঠে সেই মিশ্র অঙ্কগুলোর নিয়ম, 6টি সমাধান করা উদাহরণ আর সাধারণ ভুলগুলো দেখে নিন, তারপর নিচের 12 প্রশ্নের প্র্যাক্টিস কুইজ।
আলাদা করে গড় আর সময়-দূরত্বের সূত্র আগে পড়া না থাকলে আগে সেগুলো দেখে নিন: গড় অঙ্কের নিয়ম ও শর্টকাট আর সময় ও দূরত্ব অঙ্কের সূত্র। পুরো প্রস্তুতির ছক আছে 8 সপ্তাহের প্রস্তুতি পরিকল্পনায়।
Table of Contents
যে চারটি নিয়ম মনে রাখতে হবে
- গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব ÷ মোট সময়। সব মিশ্র অঙ্কের মূল কথা এটাই। গতিগুলোর সাধারণ গড় নেওয়া চলে কেবল তখন, যখন প্রতিটি গতিতে সমান সময় চলা হয়েছে।
- সমান দূরত্ব, দুই গতি: যাওয়া $x$ km/h আর ফেরা $y$ km/h হলে গড় গতিবেগ $= \frac{2xy}{x+y}$। তিনটি সমান দূরত্ব হলে $\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$।
- গতি আর সময় উল্টো অনুপাতে: দূরত্ব এক থাকলে গতির অনুপাত $a : b$ হলে সময়ের অনুপাত $b : a$। আর সময় এক থাকলে দূরত্বের অনুপাত গতির অনুপাতের সমান।
- মিলিত গড় (weighted average): দুই দলের সংখ্যা $n_1, n_2$ আর গড় $A_1, A_2$ হলে মিলিত গড় $= \frac{n_1 A_1 + n_2 A_2}{n_1 + n_2}$। দলের সংখ্যা অনুপাতে দেওয়া থাকলে অনুপাতের অংশগুলোই $n_1, n_2$ হিসেবে বসান।
6টি সমাধান করা উদাহরণ
উদাহরণ 1: যাওয়া-আসার গড় গতিবেগ
একটি গাড়ি A থেকে B তে যায় 40 km/h বেগে, ফেরে 60 km/h বেগে। পুরো যাত্রার গড় গতিবেগ কত?
সমাধান: দূরত্ব ধরুন 120 km (40 আর 60 দুটো দিয়েই ভাগ যায়)। যেতে লাগে $120 \div 40 = 3$ ঘণ্টা, ফিরতে $120 \div 60 = 2$ ঘণ্টা। মোট দূরত্ব 240 km, মোট সময় 5 ঘণ্টা, তাই গড় গতিবেগ $240 \div 5 = 48$ km/h। সূত্রে: $\frac{2 \times 40 \times 60}{40 + 60} = \frac{4800}{100} = 48$ km/h। উত্তর 50 নয়: ধীর গতিতে বেশি সময় কাটে, তাই গড় ধীর গতির দিকে নামে।
উদাহরণ 2: সমান সময়, আলাদা গতি
এক ব্যক্তি 3 ঘণ্টা 50 km/h বেগে আর পরের 3 ঘণ্টা 70 km/h বেগে চললেন। গড় গতিবেগ কত?
সমাধান: দূরত্ব $3 \times 50 + 3 \times 70 = 150 + 210 = 360$ km, সময় 6 ঘণ্টা, গড় $360 \div 6 = 60$ km/h। এখানে সময় সমান, তাই সাধারণ গড় $(50 + 70) \div 2 = 60$ ঠিক মিলে যায়। সময় আলাদা হলে (যেমন 2 ঘণ্টা 45 আর 3 ঘণ্টা 60) সাধারণ গড় চলবে না: $(90 + 180) \div 5 = 54$ km/h, 52.5 নয়।
উদাহরণ 3: গতির অনুপাত থেকে সময়
দুটি ট্রেনের গতির অনুপাত 3 : 4। প্রথম ট্রেন একটি দূরত্ব যেতে 8 ঘণ্টা নেয়। দ্বিতীয় ট্রেনের একই দূরত্বে কত সময় লাগবে?
সমাধান: দূরত্ব এক, তাই সময়ের অনুপাত উল্টো: 4 : 3। প্রথমটির 4 অংশ = 8 ঘণ্টা, 1 অংশ = 2 ঘণ্টা, দ্বিতীয়টির 3 অংশ = 6 ঘণ্টা। যাচাই: দ্বিতীয়টি দ্রুত, তাই কম সময়, ঠিক আছে। $8 \times \frac{4}{3}$ করলে (10 ঘণ্টা 40 মিনিট) ভুল হত।
উদাহরণ 4: অনুপাত থেকে সময়ের পার্থক্য
A আর B একই রাস্তা হাঁটে, তাদের গতির অনুপাত 4 : 5। A, B এর চেয়ে 15 মিনিট বেশি সময় নেয়। B এর কত সময় লাগে?
সমাধান: সময়ের অনুপাত 5 : 4। পার্থক্য 1 অংশ = 15 মিনিট। তাই A এর 5 অংশ = 75 মিনিট, B এর 4 অংশ = 60 মিনিট। যাচাই: 75 − 60 = 15, মিলে গেল।
উদাহরণ 5: অনুপাতে দুই দলের মিলিত গড়
একটি ক্লাসে ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত 3 : 2। ছাত্রদের গড় নম্বর 60, ছাত্রীদের 70। পুরো ক্লাসের গড় নম্বর কত?
সমাধান: অনুপাতের অংশগুলোকে সংখ্যা ধরুন: $\frac{3 \times 60 + 2 \times 70}{3 + 2} = \frac{180 + 140}{5} = \frac{320}{5} = 64$। উত্তর 65 নয়, কারণ ছাত্র বেশি, তাই গড় 60 এর দিকে সরে। একটা যাচাই: 60 থেকে 64 এর দূরত্ব 4, 70 থেকে 6; 4 : 6 = 2 : 3, ঠিক দলের অনুপাতের উল্টো।
উদাহরণ 6: গড় গতিবেগ দেওয়া, বাকি অংশের গতি
300 km যাত্রার গড় গতিবেগ 50 km/h। প্রথম 150 km গাড়ি গেছে 75 km/h বেগে। বাকি 150 km কোন বেগে গেছে?
সমাধান: মোট সময় $300 \div 50 = 6$ ঘণ্টা। প্রথম অংশে $150 \div 75 = 2$ ঘণ্টা। বাকি 150 km এ 4 ঘণ্টা, বেগ $150 \div 4 = 37.5$ km/h। ফাঁদ: "গড় 50, একটি 75, অন্যটি 25" ভাবা। সমান দূরত্বে গড় সাধারণ গড় নয়, তাই 25 ভুল। সূত্রে মিলিয়ে দেখুন: $\frac{2 \times 75 \times 37.5}{75 + 37.5} = \frac{5625}{112.5} = 50$।
শর্টকাট আর সাধারণ ভুল
- দূরত্ব না দেওয়া থাকলে গতিগুলোর ল.সা.গু. ধরে নিন (40 আর 60 হলে 120 km): ভগ্নাংশ ছাড়াই অঙ্ক হয়ে যায়।
- "সমান দূরত্ব" দেখলে $\frac{2xy}{x+y}$, "সমান সময়" দেখলে সাধারণ গড়। প্রশ্নে কোনটি সমান, আগে সেটা দাগ দিন।
- সমান দূরত্বে গড় গতিবেগ সবসময় দুই গতির সাধারণ গড়ের চেয়ে কম, যদি না দুটো গতি সমান হয়। অপশনে সাধারণ গড়টি থাকলে প্রায়ই সেটাই ফাঁদ।
- গতির অনুপাত দেওয়া থাকলে সময়ের অনুপাত উল্টে নিন, তারপর "অংশ" দিয়ে কাজ করুন। পার্থক্য দেওয়া থাকলে পার্থক্যের অংশ দিয়ে ভাগ করুন।
- মিনিট আর ঘণ্টা মিশিয়ে ফেলবেন না: 15 মিনিট = $\frac{1}{4}$ ঘণ্টা, 40 মিনিট = $\frac{2}{3}$ ঘণ্টা।
- উত্তর পেয়ে এক লাইনে যাচাই করুন (মোট দূরত্ব ÷ মোট সময়)। ভুল উত্তরে 0.25 নম্বর কাটা যায়, তাই যাচাইয়ে 10 সেকেন্ড খরচ করা লাভজনক।
পরীক্ষার্থীদের জন্য এর অর্থ কী
পার্ট-1 এ 100টি প্রশ্নের জন্য সময় 1 ঘণ্টা 30 মিনিট, পাটিগণিতে 30টি প্রশ্ন, মান মাধ্যমিক স্তরের, আর প্রতিটি ভুলে 0.25 নম্বর কাটা। পার্ট-1 পরীক্ষা কমিশনের বিজ্ঞাপন অনুযায়ী সম্ভাব্য ডিসেম্বর 2026 এ। এই ধরনের মিশ্র অঙ্ক নিয়ম জানা থাকলে এক মিনিটের কম সময়ে হয়, তাই এগুলো নম্বর তোলার জায়গা। নিচের কুইজের 12টি প্রশ্ন সময় ধরে করুন, ভুলগুলোর ব্যাখ্যা পড়ুন, তারপর ক্লার্কশিপ 2023 এর প্রশ্নপত্র থেকে এই অধ্যায়ের অঙ্কগুলো মিলিয়ে নিন।
সূত্র
প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন
যাওয়া-আসার গড় গতিবেগ কেন দুই গতির সাধারণ গড় হয় না?
কারণ দুই দিকে দূরত্ব সমান হলেও সময় সমান নয়: ধীর গতিতে বেশি সময় লাগে। গড় গতিবেগ মোট দূরত্বকে মোট সময় দিয়ে ভাগ করে পাওয়া যায়, তাই সূত্র 2xy ÷ (x + y)। 40 আর 60 km/h হলে উত্তর 48, 50 নয়।
কখন গতিগুলোর সাধারণ গড় নেওয়া যায়?
যখন প্রতিটি গতিতে সমান সময় চলা হয়েছে। যেমন 3 ঘণ্টা 50 km/h আর 3 ঘণ্টা 70 km/h হলে গড় 60 km/h।
গতির অনুপাত দেওয়া থাকলে সময় কীভাবে বের করব?
দূরত্ব এক হলে সময়ের অনুপাত গতির অনুপাতের উল্টো। গতি 3 : 4 হলে সময় 4 : 3; তারপর জানা সময় থেকে এক অংশের মান বের করুন।
অনুপাতে দেওয়া দুই দলের মিলিত গড় কীভাবে বের করব?
অনুপাতের অংশগুলোকে সংখ্যা ধরে (অংশ × গড়) যোগ করুন, তারপর মোট অংশ দিয়ে ভাগ করুন। ছাত্র : ছাত্রী = 3 : 2, গড় 60 আর 70 হলে (180 + 140) ÷ 5 = 64।
Leave a Comment
Commenting as ·