গসাগু ও লসাগু প্র্যাকটিস কুইজ: WBPSC ক্লার্কশিপ 2024

$12 = 2^{2} \times 3$, $18 = 2 \times 3^{2}$, $30 = 2 \times 3 \times 5$। বড় ঘাত নিলে $2^{2} \times 3^{2} \times 5 = 180$। 90 কে 12 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 6, 60 কে 18 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 6, আর 360 গুণিতক হলেও ক্ষুদ্রতম নয়।

সূত্র: গসাগু × লসাগু = গুণফল। তাই লসাগু $= 2160 \div 12 = 180$। 2148 আসে ভুল করে বিয়োগ করলে (2160 − 12), আর 144 ও 360 কোনো সূত্রেই মেলে না: 12 × 144 = 1728 ও 12 × 360 = 4320, দুটোই 2160 নয়।

গুণফল $= 16 \times 96 = 1536$। অন্য সংখ্যা $= 1536 \div 32 = 48$। যাচাই: 32 ও 48-এর গসাগু 16, লসাগু 96। অন্য বিকল্প মেলে না: 96 নিলে গসাগু হত 32, 64 নিলে লসাগু হত 64, 24 নিলে গসাগু হত 8।

6, 8, 12-এর লসাগু 24। ভাগশেষ 5 হলে সংখ্যা $24 + 5 = 29$। 29 কে 6, 8 ও 12 দিয়ে ভাগ করলে প্রতিবার ভাগশেষ 5। 24 নিজেই বিভাজ্য (ভাগশেষ 0), 19 কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 1, আর 53 $= 24 \times 2 + 5$ ক্ষুদ্রতম নয়।

12, 15, 20-এর লসাগু 60। 9999 কে 60 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল 166, ভাগশেষ 39। তাই সংখ্যা $9999 - 39 = 9960$। 9990-কে 12 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 6; 9900 বিভাজ্য কিন্তু বৃহত্তম নয়; 9980-কে 12 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 8।

টাইলের বাহু 540 ও 420 দুটোরই উৎপাদক হবে; বৃহত্তম মানে গসাগু। $540 = 2^{2} \times 3^{3} \times 5$, $420 = 2^{2} \times 3 \times 5 \times 7$, গসাগু $= 60$। 30 ও 20 বসানো যায় কিন্তু বৃহত্তম নয়; 120 দিয়ে 540 ভাগ হয় না।

লসাগু লাগবে: $15 = 3 \times 5$, $20 = 2^{2} \times 5$, $25 = 5^{2}$, লসাগু $= 2^{2} \times 3 \times 5^{2} = 300$ সেকেন্ড $= 5$ মিনিট। 3 মিনিট (180 সেকেন্ড) ও 2 মিনিট (120 সেকেন্ড) 25 দিয়ে ভাগ হয় না; 10 মিনিট (600 সেকেন্ড) পরের মিলনক্ষণ, প্রথম নয়।

ভগ্নাংশগুলো লঘিষ্ঠ আকারে আছে। লবগুলোর (2, 4, 8) গসাগু 2; হরগুলোর (3, 9, 15) লসাগু 45। তাই গসাগু $= \frac{2}{45}$। যাচাই: $\frac{2}{3} \div \frac{2}{45} = 15$, $\frac{4}{9} \div \frac{2}{45} = 10$, $\frac{8}{15} \div \frac{2}{45} = 12$, সবই পূর্ণসংখ্যা।

সংখ্যা দুটি $5k$ ও $7k$ হলে, 5 ও 7 পরস্পর মৌলিক বলে গসাগু $= k = 8$। সংখ্যা দুটি 40 ও 56, যোগফল 96। যাচাই: লসাগু $= 35 \times 8 = 280$ এবং $8 \times 280 = 2240 = 40 \times 56$। 84, 72, 120 হলে যোগফল $12k$ হত, তখন $k$ হত 7, 6, 10, গসাগু 8 হত না।

6, 9, 12-এর লসাগু 36, তাই সংখ্যা $36k + 4$ আকারের। $k = 1, 2, 3, 4$ বসালে 40, 76, 112, 148। 7 দিয়ে ভাগশেষ যথাক্রমে 5, 6, 0, 1, তাই প্রথম বিভাজ্য সংখ্যা 112 $= 7 \times 16$।

$84 = 2^{2} \times 3 \times 7$, $126 = 2 \times 3^{2} \times 7$, $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$। সাধারণ উৎপাদক $2 \times 3 \times 7 = 42$। 21 ও 14 সাধারণ গুণনীয়ক কিন্তু বৃহত্তম নয়; 84 দিয়ে 126 ভাগ যায় না।